已知f(x)=1/2x^2-lnx, （1）求f(x)的单调区间；（2）求证x>1时,1/2x^2+lnx<2/3x^3

(1)求导 f'(x)=x-1/x=(x^2-1)/x x＞0
令(x^2-1/x)=0
解得x=1
单调减区间 (0.1] 单调增区间[1.无穷]
(2)令F(x)=2/3x^3-1/2x^2-lnx
F'(x)=2x^2-x-1/x=(2x^3-x^2-1)/x=(2x^2+x+1)(x-1)/x
因为x＞1
所以F'(x)＞0恒成立
所以F(x)为增.
F(x)最小为F(1)=2/3-1/2-0=1/6＞0
所以求证x>1时,1/2x^2+lnx<2/3x^3

函数定义域（0，+无穷）
f'(x)=x-1/x,
x=1时f'(x)=0，为极值点
x属于（0，1)时，f'(x)>0，单增
x属于（1，，+无穷)时，f'(x)<0，单减

令g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3 ，g(1)=-1/6<0
则g'(x)=x+1/x-2x^2，g'(1)=0，因此x=1是一极值点
g“(x)=1-1/x^2-4x, g"(1)=-4<0,因此x=1是一极大值点
因此x>1时,g(x)<0,即1/2x^2+lnx<2/3x^3

要用导数，f’(x)=x-1/x=[(x-1)(x+1)]/x,因为x>o.另f’(x)>o,x>1所以f(x)的单调增区间为x>1,减区间为0<x<1
第二问也用导数，构造个函数即可